dnsmasqを追加します。
apk add dnsmasq

dnsmasqの設定を編集します。
vi /etc/dnsmasq.conf

dnsmasqにはDNSサーバもありますが、今回はDHCPサーバのみ稼働させますので、portに0を設定します。
port=0

以下の項目を追加します。
dhcp-range=192.168.0.101,192.168.0.254,12h
dhcp-option=option:router,192.168.0.1
dhcp-option=option:dns-server,1.1.1.1,1.0.0.1
dhcp-option=option:netmask,255.255.255.0

設定ファイルを上書き保存します。

dnsmasqを自動起動するように設定します。
rc-update add dnsmasq

コンピュータを再起動し、IPアドレスが正しく付与されるか確認してください。